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DISECCIONES Geométricas

           Disección Geométrica

cuadrado pentagono

 

 

  Una disección geométrica es un corte de una o más figuras en piezas que se pueden reorganizar para formar otras figuras. Con un énfasis en el uso de la menor cantidad de piezas posible, estos rompecabezas geométricos han llevado a enfoques ingeniosos, lo que lleva a muchas construcciones hermosas y elegante

Teorema de Bolyai-Gerwien:

Dados dos polígonos cualesquiera de la misma área, es posible cortar uno de ellos en un número finito de piezas poligonales de forma que estas piezas puedan reordenarse formando exactamente el otro polígono.

Una demostración intuitiva :

Todo polígono puede cortarse en piezas triangulares que se puede reordenar para formar rectángulos. Estos rectángulos a su vez puede colocarse para formar un rectángulo más grande, que después puede recortarse en piezas que formen un cuadrado, que tiene la misma área que el polígono inicial.

Como esto lo podemos hacer con los dos polígonos, podemos llevar uno de ellos hasta un cuadrado y después llevar ese cuadrado hasta el otro polígono (invirtiendo el proceso descrito en el párrafo anterior). Así conseguimos pasar de uno de los polígonos al otro.

¿podría pasarse del círculo al cuadrado teóricamente, aunque físicamente no se pueda? La respuesta es , es decir, podemos recortar un círculo en un número finito de piezas que luego se pueden reordenar para formar un cuadrado de la misma área que el círculo, pero no podemos reproducirlo físicamente. ¿Por qué no podemos? Pues por la misma razón que nos impide reproducir físicamente lo que describe la paradoja de Banach-Tarski: porque las piezas en las que hay que dividir el círculo son no medibles.

Por cierto, este problema se denomina Tarski’s circle-squaring problem y fue propuesto por Alfred Tarski en 1925 y demostrado por Miklós Laczkovich en 1990, cuya descomposición usa unas 10^{50} piezas

triangulo cuadrado

La situación se vuelve considerablemente más difícil en movimiento a partir de dos dimensiones a tres dimensiones. En general, un poliedro no puede ser diseccionado en otros poliedros de un tipo especificado.

Un cubo puede ser diseccionado en cubos , donde es cualquier número entero .

En 1900, Dehn demostró que no todos los prismas puede ser diseccionado en un tetraedro (Lenhard 1962, Ball y Coxeter 1987).

El tercer problema de  Hilbert

                            Dados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad                          finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?

Dehn (1900, 1902) mostró que esto no se podía hacer, y Kagan (1903) obtuvo el mismo resultado independientemente poco después.
Existe cierto debate en cuanto a la admisibilidad de voltear piezas. Si bien es razonable preferir una disección no invertidos durante un volteado uno si ambos utilizan el mismo número de piezas, también es razonable a la lista por separado las disecciones más conocidos de los no invertidos volteadas cuando el número de piezas se diferencian (G. Frederickson,  G. Theobald)

Dissections3-7Dissections8-9Dissections10Dissections12

Las disecciones más conocidos de polígonos regulares cóncavos se ilustran a continuación para {5/2}{2.6}, y {8.3}(Theobald).

Dissections52Dissections62Dissections83

Las disecciones más conocidos de varios cruces se ilustran a continuación (Theobald).

DissectionsCrosses

Las disecciones más conocidos del rectángulo áureo se ilustran a continuación (Theobald).

DissectionsRectangle

Si quieres puedes acceder a la pàgina de orìgen de estas imágenes en

Geometric Dissections

Author : Gavin Theobald

 

2 comentarios el “DISECCIONES Geométricas

  1. La disección 9-4 que aparece en esta página no es correcta, ya que implica que el lado del cuadrado es 2 radio x cos 10 x cos 30, siendo radio el circunscrito al nonágono. Tampoco es correcta la otra disección 9-4 que se hace en la página de Gavin Theobald.

    • Hola : La verdad que las desecciones presentadas en esta página son de la pagina de Gavin, por lo tanto, son las mismas, la verdad que puse todas estas como opciones para que el que quiera usarlas investigue y planifique. En cuanto me haga un tiempo te respondo con más coherencia, por ahora es una simple disculpa. Gracias por la observación

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