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FRACTALES EN PAPEL

En este caso una ineresante manera de trabajar el infinito y las iteraciones además de acercar un tema de belleza absoluta que son los  FRACTALES y podremos acercarla mediante el doblado y corte de papel

QUE ES UN FRACTAL?

De acuerdo a la denicion de la Real Academia Espa~nola un fractal es Una gura plana o espacial, compuesta de innitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribucion estadstica no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe [4]. Cabe aclarar que esta denicion es muy vaga y que, dependiendo la manera en la que se modele la idea intuitiva de lo que es un fractal, en la literatura se encuentran distintas deniciones. A lo largo de este trabajo se presentaran las deniciones matematicas mas usuales a medida que sea necesario.

CARACTERISTICAS DE UN FRACTAL

Para que un objeto sea considerado un fractal debe tener dos cualidades: Auto-similitud Una gura es auto-similar si esta hecha por copias a escala de si misma. Es decir, que podemos dividir la gura en subconjuntos tales que, cada uno de ellos es semejante a la gura original, solamente que en una escala menor. Dimension fractal La dimension fractal es un numero que da una idea de cuan completamente parece llenar la gura el espacio que la contiene, conforme se va observando en escalas mas y mas nas.

adorno

EL PEINE DE CANTOR

Este conjunto es contrario a la intuición .Partiendo de un segmento unidad asociado al intevalo [0;1] por medio de iteradas particiones llegaremos al conjunto al conjunto de Cantor es de “longitud” cero y sin embargo tiene tantos puntos como el segmento inicial. 

____________________________________

 Dividimos el segmento [0;1] inicial en 3  segmentos de igual longitud y eliminamos el segmento central, obteniendo dos segmentos cada uno de longitud

____________________________________

_____________                            ______________

Enseguida dividimos cada segmento resultante en la etapa anterior en 3 segmentos de igual longitud y eliminamos los segmentos central, obteniendo 4 segmentos cada uno de longitud

_____________________________________

____________                              _______________

_____       _____                            ______         ______

Repetimos el proceso de división y eliminación anterior a cada segmento resultante en la etapa anterior, y continuamos el proceso indefinidamente

PEINE DE CANTOR

 El resultado final es un conjunto C, llamado Polvo de Cantor.

PEINE DE CANTOR2

Si medimos la longitud de los segmentos en cada etapa obtendremos:

Etapa

Longitud
0 1
1 2/3
2 4/9=(2/3)2
3 8/27=(2/3)3
4 (2/3)4
5 (2/3)5
   
   

          

Iim  ∞        = (2/3)=0

Construcción en Papel

 

Para construir el modelo de papel del conjunto de Cantor comenzamos con una hoja de papel y la doblamos longitudinalmente. Dividimos la hoja a lo largo del doblez en tres partes iguales, haciendo dos cortes de longitud la mitad de lo que queda hasta el otro lado.

Marcamos los dobleces como se ve en la figura.

Volvemos a cortar en tercios hasta la mitad en cada uno de los lados…

…y doblamos.

En cada una de las cuatro nuevas solapas, repetimos el procedimiento, cortar en tercios…

…y doblar.

Y así hasta que nos cansemos (que en nuestro caso ha sido ¡ya!). Ahora sólo hay que ir orientando los dobleces en el sentido que nos interesa. Primero, “los dobleces más grandes” los metemos “para dentro” como muestra la figura.

Desde el otro lado se ve así.

Los siguientes más grandes los doblamos en la dirección contraria.

Y los otros también (y si tuviéramos más pues también…).

Así llegamos a nuestro modelo del conjunto de Cantor hasta la tercera iteración.

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Triángulo se Sierpinski:

Waclae Sierpinski (1882-1969) hizo grandes aportes a la teoria de conjuntos transfinitos, sin embargo ahora haremos mensión del triángulo que lleva su nombre y cuya particularida es que tiene área nula y perímetro infinito:

ilsierpinsky

1-    Tomamos un triángulo cualquiera y marcamos sus puntos medios

2-    Unimos los puntos medios y resulta en 4 triángulos

3-    Borramos el triangulo central

4-    Marcamos el punto medio de los triangulos restantes

5-    Unimos los puntos medios obteniendo 4 triángulos en cada uno

6-    Borramos el triangulo central

7-    Marcamos el punto medio repitiendo el proceso anterior….

CONSTRUCCIÒN EN PAPEL

 

Para construir el modelo de papel del triángulo de Sierpinski, comenzamos con una hoja de papel y la doblamos transversalmente.

Dividimos la hoja a lo largo del doblez en dos partes iguales, haciendo un corte de longitud la mitad de lo que queda hasta el otro lado.

Doblamos una de las mitades para marcar el doblez…

… y una vez marcado, lo metemos hacia dentro, como se ve en la figura, quedándonos una especie de escalera de dos peldaños.

En cada uno de los peldaños, repetimos la operación: corte al medio…

… marcar los dobleces…

y meterlos hacia dentro.

Y ahora lo mismo con cada uno de los 4 peldaños. Corte al medio…

… marcar los dobleces…

… y meterlos para dentro.

Venga, y una última vez. Cortar…

.. marcar…

… y doblar hacia dentro.

Y ya tienes tu triángulo de Sierpinski para poner en cualquier rincón.

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El copo de Koch

En este caso se trata de una figura de área finita y perímetro infinito su construcción es la siguiente: 1-    Partimos de un triángulo de lado unidad2-    Dividimos cada lado en tres partes iguales3-    Con los puntos que no son vértices se construye un triángulo equilátero en cada lado de tal manera que los lados de este  nuevo triangulo sean de un tercio4-    Dividimos cada lado del nuevo triángulo en tres partes iguales y tomamos los puntos que no son vértices y construimos triángulos equiláteros5-    Repíte proceso anterior infinitas veces  koch1

Etapa perímetro
0 3
1 12/3= 3. (4/3)
2 48/9= 3. (4/3)2
3 3. (4/3)3
4 3. (4/3)4

Con este proceso se puede obtener una “curva’’ de longitud infinita, y como puede observarse en cada etapa agregamos puntos esquinas (aquellos que forman el vértice de dos segmentos). La curva final tendrá un punto esquina en cada punto, esto no es fácil de imaginar, pero de hecho así ocurre. Esta curva es llamada curva de Koch, en honor a su creador, Niel Helge von Koch (1870- 1924). Las figuras que vimos hasta ahora es que son autosemejantes, son autosemejantes si puede ser construida como una reunión de estructuras, cada uno de las cuales es una copia de F a tamaño reducido (una imagen de F mediante una semejanza contractiva). Característica que las hace ser ejemplos koch2   Clásicos de Fractales,  en particular son los fractales teóricos  ya que poseen  detalles infinitos. Por ejemplo si nos adentramos en el triángulo de Sierpinski siempre encontraremos otro triángulo con las mismas características que el anterior pero a diferente escala, eso significa que está iterado infinitas veces.   La curva de Koch se construye dividiendo un segmento en tres partes iguales. El segundo segmento – el segmento del medio – forma la base de un triángulo equilátero, pero sin representar este segmento – la base. Esto significa que tenemos un segmento horizontal seguido de dos segmentos, estos dos últimos en forma de triángulo, y luego seguido de un tercer segmento horizontal. Esta estructura es la primitiva para construir esta curva. En siguientes repeticiones, cada segmento de esta curva primitiva es a su vez sometido al mismo algoritmo: segmento horizontal seguido de dos segmentos terminando en la “punta” de un triángulo equilátero y seguido por un tercer segmento horizontal. Construcciòn   a-En una hoja preferiblemente caras de distinto color  partimos de un triagulo isosceles cuyos àngulos iguales son de 30º y el desigual de 120º   2 b- haciendo uso del transportador toma los dos lados iguales y repite los ángulos de 30º en cada vértice 1.1 c- Repite este proceso viendo como los triangulos son semejantes ya que poseen el mismo àngulos   3       d-toma los ultimos triángulos y doblalos hacia el interior, toma los siguientes y doblalos hacia el exterior, 4 repite el procedimiento.   5     6 Cuantos más triangulos agregues mayor será el fractal de koch. 7

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LA CURVA DE DRAGON

Paul Pierre Levy dio una construccion geometrica de este fractal, en su artculo Plano o espacio de curvas y supercies que consisten en partes similares al conjunto. Aunque este fractal fue descubierto mucho antes, en 1906 por Ernesto Cesaro, se nombróo en honor a Levy, pues fue el primero en describirlo. CONSTRUCCI ON 1. Se empieza con un triangulo rectangulo isosceles, cuyos lados iguales miden uno. Reemplazando este triangulo con dos triangulos rectangulos isosceles, de manera que la hipotenusa de cada nuevo triangulo se encuentra en cada uno de los lados iguales del triangulo antiguo. 2. A cada uno de los triangulos le aplicamos el paso 1. El proceso se repite indenidamente, para tener una mejor idea del proceso. DRAGON2 Reriendonos a la gura 16, denotemos por HK(1/Raiz de 2) a la homotecia con factor de contraccion 1/raíz de 2 respecto de K y por RK (0) a una rotacion respecto a K de un angulo 0.

DRAGON3

Entonces, las funciones DRAGON4 son el sistema de funciones iteradas, que generan el dragon de Levy.

Teorema

La dimension fractal del dragon de Levy es 2 Como el dragon de Levy es un sistema de funciones iteradas, las cuales estan dadas por el ejemplo anterior, existen dos aplicaciones contractivas y cuyo factor de contraccion es 1/raíz de2. Entonces, por denicion, su dimension fractal es el unico numero d, tal que, DRAGON5

CONSTRUCCIÒN EN PAPEL

Tomamos una hoja tamaño carta y cortamos una tira por la parte larga de la hoja. La tira puede ser de unos 2 o 3 centímetros de ancho.

Paso 1: Doblar la tira a la mitad, tomando el extremo izquierdo y doblando hacia la derecha. La tira queda dividida en dos partes iguales. Todos los dobleces en lo sucesivo se deben hacer en este mismo sentido. 

Paso 2: Si desdoblamos la tira y nos aseguramos que el doblez quede en un ángulo recto, obtenemos la siguiente figura que es una curva de dragón de orden 1:

Paso 3: Volvemos a doblar la tira en dos como estaba al final del paso 1, y hacemos un nuevo doblez a la mitad, otra vez tomando el extremo izquierdo y doblando hacia la derecha. La tira queda dividida en cuatro partes iguales:

Paso 4: Al desdoblar la tira, cuidando que todos los dobleces queden como ángulos rectos, tenemos ahora una curva de dragón de orden 2:

Vale la pena notar que la misma figura del paso 2 aparece aquí dos veces. La segunda vez aparece rotada 90° del punto en donde termina la primera. Paso 5: Volvemos a doblar la tira como estaba hasta el paso 3 y hacemos otro doblez a la mitad. La tira queda ahora dividida en ocho partes iguales:

Paso 6: Al desdoblar la tira tenemos un curva de dragón de orden 3:

Notar aquí también que la figura del paso 4 se repite dos veces. Igualmente, la segunda instancia aparece rotada 90°.

Paso 7: Nuevamente regresamos a los dobleces del paso 5, y hacemos otro doblez por la mitad. Ahora la tira queda dividida en dieciséis partes iguales:

Paso 8: Desdoblamos la tira por última vez y nos queda una curva de dragón de orden 4, la cual es simétrica al dibujo de la primera iteración de la novela de “Parque Jurásico”:

Ahora es la figura del paso 6 la que se repite dos veces. La segunda figura también está rotada en un ángulo recto.

PARA CONSTRUIR A MAYOR ESCALA

  1. Doble la tira por la mitad dos veces más para un total de cuatro pliegues siempre plegables en la misma dirección.
  2. Despliegue la tira de papel de modo que cada pliegue es un ángulo recto. Esta imagen muestra lo que la tira de papel se vería como si usted lo abrió después de que el primer pliegue, el segundo  y así sucesivamente. La forma en la parte inferior derecha es lo que su tira de papel debe ser similar.                                                  
  3. Dobla otra curva y la cinta de las dos curvas juntas como se muestra. Repita el procedimiento para los otros tres colores.                                                                                               
  4. Coloque dos curvas juntos                                                   .
  5. Añadir las dos curvas restantes para el patrón. Cada curva comienza en el mismo punto pero se gira 90 °.
  6. Puede ampliar las curvas cortando y doblando dos tiras más de cada color y agregándolos al patrón como se muestra.

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FRACTAL PIRÁMIDE

1. (A) Para simplificar, supongamos que el primer corte tiene longitud 2 y el primer pliegue tiene longitud 1. Entonces, el primer corte se pliega a dos cortes, cada uno de longitud 1.

Aquí  se muestra para establecer la escala de pliegues y cortes posteriores.

Estamos interesados sólo en los cortes delanteros , ilustrados por las dos líneas de puntos .

Generamos una tabla con las longitudes de los recortes delanteros.

paso número de cortes delanteros longitud / corte
1 1 2 = 2 1
2 3 1 = 2 0
3 9 1/2 = 2 -1
4 27 1/4 = 2 -2
n N-1 2-n

Mientras tanto con una hoja de papel vamos Generando mediante recorte el fractal

 

cutout1

Cortar el borde doblado a lo largo de la línea de puntos por encima. El corte debe comenzar a mitad de camino hacia arriba y abajo de la tapa e ir a mitad de camino hacia la derecha a lo largo del papel doblado.Ahora dobla más de un medio y el pliegue, como se muestra.

cutout2

El siguiente paso es un poco difícil, pero fundamental. Abra la solapa plegada, y doblar por dentro sí. Usted debe terminar con su papel en busca de esta manera:

cutout3

Ya ha completado el paso básico para crear el corte fractal, y lo único que tienes que hacer ahora es seguir repitiendo este proceso una y otra vez.

Ahora haga dos cortes, a mitad de camino a través de cada uno de los bordes doblados. Los cortes serán la mitad del tiempo, y de nuevo los cortes deben ser a mitad de camino hacia arriba y abajo de cada borde y ve sólo la mitad de la pieza. Tenga cuidado de no cortar demasiado.

cutout4

Una vez que haya realizado estos cortes, doblar sobre el y el pliegue los flaps. ¿Cómo sabes cuáles veces más? ¿Quieres terminar con algo que parece una escalera.

cutout5Después de haber doblado las solapas, hay que acordarse de abrir las solapas y plegarlas dentro de sí mismos.

cutout6

Esto lo que su papel debe ser similar ahora. Repetir el mismo corte, plegado y de inversión, pero esta vez es necesario hacer cuatro cortes. Después de plegar y mover de un tirón las aletas dentro de sí mismos, que va a terminar con esto:

cutout7

Si usted desea (y si usted tiene la paciencia), puede repetir este proceso una vez más, lo que hace 8 cortes. Después de cortar, doblar y que invierte, usted termina con la etapa final. (Después de este punto, hay demasiadas capas de cortar con facilidad.)

cutout8

Por último, puede activar este fractal en una tarjeta de pop-up. Doble la otra hoja de papel por la mitad.Aplique el pegamento en las partes sólidas del recorte fractal, y un sándwich en el interior del papel doblado sólido.

 

Así que la longitud total de los recortes delanteros es

    2 + 3 + 9/2 + 27/4 + … + 3n-1 22-N + …2 = (1 + (3/2) + (3/2)2 + (3/2)3 + …)

La suma entre paréntesis es una serie geométrica con una relación de 3/2, por lo que diverge.

Es decir, la colección de todos los cortes delanteros tiene longitud infinita.

 

Tome una hoja de papel y doblar por la mitad, por lo que parece un libro.
Continuando con este patrón, vemos la superficie está hecha de triángulos:Tras considerar estos triángulos, las tres partes restantes de la de la superficie – izquierda , derecha y arriba – cada uno contiene tres triángulos de base y de altura media .

paso altitud (= base) número de triángulos área / triángulo
1 1 3 1/2
2 1/2 9 = 3 2 1/8 = 1/2 3
3 Cuarto 27 = 3 3 1/32 = 1/2 5
4 Octavo 81 = 3 4 1/128 = 1/2 7
n 1/2 n-1 N Medio 2n-1

En consecuencia, el área de la superficie es

    (3/2) + (9/8) + (27/32) + (81/128) + … = (3/2) (1 + (3/4) + (3/4)2 + (3/4)3 + …)

La serie de paréntesis, es una serie geométrica con una relación de 3/4, por lo tanto, que convergen a

1 / (1 – 4/3) = 4 . Así que el área es (3/2) 4 = 6.

Segunda aproximación Después para los tres triángulos de base y altura 1, el resto de la superficie está compuesto por tres piezas – izquierda , derecha y arriba – cada uno una copia de toda la superficie reducida por un factor de 1/2 en cada dirección.

Denotemos por x el área de toda la superficie. A continuación, los tres pedazos más pequeños tienen cada área x / 4 y lo que el área satisface esta ecuación.

    x = 3/2 + 3x / 4

Despejando x da x = 6 , de acuerdo con nuestro cálculo anterior.

Precaución Este cálculo sólo funciona si x es finito. Por ejemplo, si la inclinación de la superficie y doblado por lo tanto que era más de 2 dimensiones, x sería infinito. La ecuación que se muestra es válida para x infinito. Antes de resolver cualquier ecuaciòn, debemos tener cuidado de establecer que la solución es finito.

3. Primera aproximación

paso número de cubos longitud del lado del cubo
1 1 1
2 3 1/2
3 9 Cuarto
4 27 Octavo
n N-1 1/2 n-1

Aquí es una tabulación de los cubos.

Así que el volumen total es

          1 + 3 (1/2)

3 + 9 (1/4) 3 + 27 (1/8) 3 + … + 3 N-1 (1/2 n-1 ) 3 + …= 1 + 3/8 + (3/8) 2 + (3/8) 3 + …

La suma es una serie geométrica con una relación de 3/8, por lo tanto, que converge a 1 / (1 – (3/8)) = 8/5.


Digamos que el volumen de toda la forma es x. Entonces vemosEn consecuencia, los tres ejemplares pequeños tienen volumen 1/8 del volumen de toda la forma.

    x = 1 + 3 (x / 8)

Sabemos x es finito, ya que la forma completa está contenida en un cubo de longitud de lado 2. En consecuencia, podemos resolver esta ecuación para x, obteniendo x = 8/5.

adorno

 

 

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4 comentarios el “FRACTALES EN PAPEL

  1. El fractal piramide y el triangulo de siepinski son los mismos
    😦😦😦

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