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PARADOJAS DEL INFINITO

Paradoja (paradoxos),  significa etimológicamente  “contraria a la razón”, Las paradojas  muestran como una afirmación o razonamiento nos lleva a contradicción (real o aparente) y hacen referencia a la noción de verdad o falsedad. A través del desarrollo del concepto del infinito estas paradojas fueron participes directos de dicho desarrollo mostrando el camino a los matemáticos de las inconsistencias inherentes a dicho concepto

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  La paradoja de  la rueda de Aristóteles 

aristotelesEs una de las primeras paradojas conocidas que hacen referencia a un conjunto infinito y que se puede hallar en   Mecánica de Aristóteles siglo IV aC

Se nos pide que  consideremos una rueda formada por dos circunferencias concéntricas de diferente radio.

Si da una vuelta completa, la longitud del segmento donde se apoya la circunferencia exterior es mayor que la longitud de la circunferencia interior, sin embargo, simultáneamente la circunferencia interior también ha dado una vuelta completa, en consecuencia  cada circunferencia se apoya sobre un solo punto; se establece así una correspondencia uno a uno entre los puntos de ambas circunferencias. AristotlesWheel (1)Desde ese punto de vista tienen  el mismo numero de elementos, pero eso no basta para que ambas curvas tengan la misma longitud pues la correspondencia no conserva las distancias.[1]

La paradoja procede de suponer que a distinta longitud,  distinta cantidad de puntos.

Concepto que era contrario a la razón ya que para  Aristóteles los enunciados que caracterizan a una ciencia tienen que ser verdaderos, la verdad, para Aristóteles, implica la coincidencia que el enunciado pretende describir acerca de la realidad y lo que en la realidad acaece, así como también considera que hay verdades que dadas su simplicidad y su evidencia bastan para advertir que son verdaderos y darlos por autojustificados

Galileo, respecto de esta Paradoja, realizó el siguiente análisis:

Al considerar dos circunferencias concéntricas y traza radios desde el centro común haciendo corresponder a cada punto A de la circunferencia pequeña el único punto de la circunferencia grande en el que el radio que pasa por A la corta, se puede establecer una  biyección entre los  puntos de la circunferencia grande y la pequeña.

Galileo saco la conclusión de que no se pueden comparar magnitudes infinitas entre si.

Para desentrañar el misterio, fijémonos en la trayectoria real que recorre el punto
A cuando la rueda gira hasta B. Esta curva es, como se sabe, una de las más famosas de
la Geometría: la cicloide:

cicloide_fig

La trayectoria descrita por un punto situado en el interior de un disco que gira, es
lo que se llama una cicloide acortada.

256

La distancia recorrida por el punto de la circunferencia interior es claramente inferior
a la recorrida por el punto de la circunferencia grande. Y también la velocidad a que
se mueven ambos puntos es distinta.

Esto muestra también que el disco pequeño no recorrerá la distancia CD girando
sin resbalar (como hace el disco grande), sino que será simultáneamente arrastrado por
el disco grande.

El efecto práctico (comprobable) es que si los discos estuvieran formados
por ruedas dentadas firmemente unidas, con el mismo eje, y situadas sobre sendos
raíles dentados paralelos, ¡no podrían moverse!.

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 La  Paradoja de Aquiles y la tortuga

Es una de las  cuatro paradojas cuyos argumentos están focalizados en la relación entre lo discreto y lo continuo, tales paradojas son; de la dicotomía, de la flecha y finalmente la paradoja del estadio.

Parmenides

Su creador fue Zenón de Elea  quien  produjo este  conjunto de  aporías para la defensa de la tesis de su maestro Parmínides, quien, había desestimado lo revelado por los sentidos como guía para conocer la verdad. Ninguno de los escritos de Zenón sobrevivió, pero se conocen sus ideas a través de los textos de Platón, Simplicio y Proclus.

images

Se arregla una carrera entre Aquiles y una Tortuga. Como Aquiles es mucho más veloz que la tortuga, el héroe permite una cierta “ventaja” al lentísimo animal.

images (2)

Mientras el recorre las distancia asignada, la tortuga habrá obtenido una nueva ventaja, creándose otra vez la situación de partida y así hasta el infinito. Es cierto que las distancias entre Aquiles y la tortura irán reduciéndose pero nunca llegaran a cero. (Aristóteles, física, 239b,15-18)

La conclusión de Aristóteles es  que Aquiles alcanzara a la tortuga en un tiempo igual a la suma de los tiempos necesaria para recorrer dos posiciones consecutivas de la tortuga.

Y la verdad es que para la matemática griega los problemas de Zenón eran irresolubles
porque involucraban sumas infinitas.
Los recorridos sucesivos de Aquiles son: cinco kilómetros, un kilómetro,
doscientos metros, cuarenta metros, ocho metros, etc… y los correspondientes de la
tortuga son un kilómetro, doscientos metros, cuarenta metros, ocho metros, un metro 2
sesenta centímetros, etc. Para calcular el recorrido total de uno y de otra, habría que
sumar todos esos tramos sucesivos. Pero como son infinitos, la suma, aparentemente
no puede hacerse.

Hubo que esperar hasta el siglo diecisiete, cuando el matemático escocés James
Gregory (1638-1675) estudió por primera vez y de manera sistemática la herramienta
necesaria para terminar con el dilema de Zenón: las series convergentes, sumas que a
pesar de tener un número infinito de términos, dan como resultado un número finito.

Por ejemplo, la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +…, puede hacerse, y da
exactamente 1.

Los recorridos parciales de Aquiles y de la tortuga en el problema de Zenón constituyen, precisamente, series convergentes.

Si sumáramos los infinitos tramos

los de Aquiles:

5 kilómetros + 1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8metros..

y los correspondientes de la tortuga

1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8 metros + 1,60 metros +…

obtendríamos, para Aquiles 6,25 kilómetros, y para la pobre tortuga 1,25 kilómetros.

Como Aquiles le había dado 5 kilómetros de ventaja, al recorrer uno 6,25 y la otra 1,25 kilómetros, coinciden en el mismo punto.

Gracias a las series convergentes, la famosa paradoja de Zenón quedó aclarada y Aquiles alcanzó a la tortuga de una buena vez. Lo cual era justo, después de perseguirla durante más de dos mil años.

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La Paradoja de Galileo

 aparece en  “Discursos y demostraciones relativas a dos nuevas ciencias” obra póstuma de Galileo Galilei :

Galileo

“Se pueden emparejar biunivocamente los números naturales con sus cuadrados (que forman un subconjunto propio del primero conjunto) es decir una parte (el conjunto de los cuadrados) tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto de todos los números naturales.

biyeccic3b3n-cuadrados

Esto contradice el principio  “El todo es mayor que la parte”  que aparece como noción común número cinco en los elementos de Euclides[2]

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 La Paradoja de  Burali-Forti

Está relacionado directamente con la teoría de los números transfinitos de Georg Cantor, que indica:

200px-Cesare_Burali_Forti

Se puede construir un nuevo ordinal a partir de cada precedente. Esta serie de números ordinales también tienen un ordinal. Este número ordinal debe estar en algún lugar de la serie.

Este  ordinal, digamos w, dado que  el conjunto está formado por todos los ordinales agregándole w, tiene ordinal w + 1, que es mayor que w por lo tanto no puede ser el número ordinal del conjunto de todos los ordinales ya que w y w +1, no cumplen la ley de tricoto

 

 

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 La paradoja del Hotel  de infinitas habitaciones 

210px-Hilbert

Fue el  es un conjunto de construcciones abstractas en forma de metáforas, creados por David Hilbert  para explicar de manera simple hechos paradójicos relacionadas con el concepto intuitivo del infinito de Cantor:

1 + Infinito

Un Hotel infinito, cuyas habitaciones están enumeradas con los enteros, 0, 1, 2,3… está completa (cada habitación tiene un ocupante).

Llega un viajero y el recepcionista dice “No hay problema”. La recepción dispone de un sistema telefónico especial que le permite comunicarse con todos los clientes al mismo tiempo.

INI1

El recepcionista le dice a cada cliente que se cambie, por favor, de la habitación i, a la siguiente, la i+1.

Así el cliente de la habitación 0 pasa a la 1, el de la 1 a la 2, el de la 2 a la 3… y el nuevo viajero puede acomodarse en la habitación 0.

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 Infinitos pares e infinitos impares

Al cabo de diez minutos aparece un autobús con infinitos pasajeros, que quieren pasar la noche  en el hotel; el recepcionista dice “No hay problema”.

INI4

Utiliza su teléfono especial para solicitar a cada cliente del hotel que pase de su habitación i, a la habitación 2i. Después dice al conductor del autobús que cada viajero tiene una habitación: El que ocupe el asiento i, que pase a la habitación 2i+1 (que seguro está libre, como todos los impares).

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    Infinitos tipos de Infinitos

Pero esa misma noche, media hora más tarde llegan infinitos autobuses, cada uno con infinitos viajeros. El recepcionista dice “no hay problema”

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telefonea a las habitaciones, en este caso indicando por favor, se mude de su habitación, la i, a la habitación 2i +1; con esto quedan las habitaciones pares y puede decirle a los conductores de los autobuses lo siguiente…..que el pasajero i del autobús j tiene a su disposición la habitación 2i+1 (2j+1)

(imagenes tomadas del siguiente video http://www.youtube.com/watch?v=faQBrAQ87l4)

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La Paradoja de Russell,

cuyo autor es Beltránd Russell, hace referencia al teorema de Cantor:

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Dado un conjunto C, existen siempre otro de mayor cardinal, que es el conjunto de sus partes, P(c ), es decir el conjunto de todos los subconjuntos de c.

La  paradoja del Barbero en alta mar es una manera de explicar la paradoja anterior.

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet
diestro en afeitar cabezas y barbas.
Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que
los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas.
Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus
angustias:
— En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por
mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo!
Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo
soy el único barbero de mi pueblo!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la
mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre feliz.

¡Menos mal que la paradoja acaba bien!

Para evitar estas paradojas en teoría de conjuntos no está permitido que un
conjunto hable de sí mismo.

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La version de Paenza

Un barco sale lleno de marineros y se dirige a una misión que lo tendrá muchos días en alta mar. El capitán advierte con disgusto que alguno de los integrantes del barco no se afeitan todos los días. Y como en el barco había un marinero-barbero, lo convoca a su camarote y le da la siguiente instrucción:

“Desde mañana, toda persona del barco que no se afeite a si misma, la afeita usted. A los que quieren afeitarse solos, no hay problemas. Usted ocúpese de los que no los hacen. Es una orden”.  El barbero se retiro y a la mañana siguiente, ni bien se despertó (aun en su camarote), se dispuso a cumplir con la orden del capitán. Pero antes, naturalmente, fue hasta el baño. Cuando se disponía a afeitarse, se dio cuenta que no podía hacerlo, por que el capitán había sido muy claro; el solo podía afeitar a los que no se afeitan a si mismos.

Pero al mismo tiempo, no podía dejarse crecer la barba porque incumpliría con la orden del capitán, que le dijo que no permitiría que ninguno de los integrantes del barco no se afeitara. El entonces tenía que afeitarse.

Desesperado porque ni podía afeitarse (por que el capitán le dijo que solo se ocupe de los que no se afeitaban a si mismos) ni podía dejarse la barba ( ya que el capitán no lo hubiera tolerado), el barbero decidió tirarse por la borda ( o pedirle a alguien que lo afeite a él)

 

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Paradoja de Cantor

georg-cantor

El conjunto de todos los conjuntos.

 Sea C el conjunto de todos los conjuntos. Entonces todo subconjunto de C es así mismo un elemento de C; luego, el conjunto potencia de C es un subconjunto de C; pero esto implica que la cardinalidad del conjunto potencia es menor o igual a la cardinalidad de C. Pero entonces, según el teorema de Cantor, la cardinalidad de C debe ser menor a la cardinalidad del conjunto potencia.

Así pues, el concepto de conjunto de todos los conjuntos lleva a una contradicción.

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Paradoja de Banach-Tansky

En 1926 se dio a conocer el Teorema de Banach-Tansky considerada una paradoja debido a su enunciado, ya que contradice la ley de conservación de masa, sin embargo los entes analizados son infinitos

El teorema establece que una esfera puede dividirse en una cantidad finita de trozos los que reordenados de una forma especial, como si fueran piezas de rompecabezas tridimensional, pueden conformar dos esferas de la misma dimensión que la primera y completamente macizas.

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Naturalmente, esta descomposición no se puede llevar a la practica, pues la materia no es infinitamente divisible.

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  Paradoja de la Lámpara de Thompson.

 Esta paradoja pertenece a las denominadas tareas sobrehumanas. Se la denomina así en recuerdo de James F. Thompson, que fue el primero en escribir respecto de esta paradoja.

Tenemos una lámpara, que la mantenemos encendida durante un minuto. Luego la apagamos durante medio minuto. Después, la encendemos durante un cuarto de minuto, y así sucesivamente, encendemos y apagamos la lámpara durante intervalos de tiempo que se reducen a la mitad en cada encendido o apagado de la lámpara. En total, transcurren dos minutos. La pregunta es ¿Estará encendida o apagada la lámpara?.

Si numeramos cada intervalo de tiempo como 1, 2, 3, …, n, entonces observamos que en cada intervalo impar la lámpara está encendida, y en cada intervalo par la lámpara está apagada. Responder a la pregunta de si la lámpara acabará encendida o apagada es equivalente a preguntarnos si el último número natural es par o impar, cosa imposible de responder, porque no existe el último número natural. Sabemos que los dos minutos transcurren, pero no sabemos cómo acabará la lámpara.

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El filósofo Max Black (1902- ) presentó una variante de esta paradoja.

En dos bandejas, B, una bolita situada en la bandeja A, y una máquina que puede transportar la bolita de una bandeja a la otra. En un minuto, la máquina transfiere la bolita de la bandeja a la B. En medio minuto transfiere la bolita de la bandeja a la A, en un cuarto de minuto la transfiere de la a la B, y así sucesivamente, reduciendo cada intervalo de tiempo a la mitad. Al final de los dos minutos, ¿en qué bandeja se encontrará la bolita?.

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La paradoja de Tristram Shandy

[3]  fue creación de  Beltrand Russell

“Tristram Shandy, como todos sabemos, empleo dos años en historiar los primeros dos días de su vida, y deploro que, a ese paso, el material se acumulará invenciblemente y que, a medida que los años pasaran, se alejaría más y más del final de su historia. Yo afirmo que si hubiera vivido para siempre y no se hubiera hartado de su tarea, ninguna etapa de su biografía hubiera quedado inédita. Hubiera redactado el centésimo día en el centésimo año, el milésimo día en el milésimo año, y así sucesivamente. Todo día, tarde o temprano, seria redactado.[4]

Esta proposición paradójica, pero verdadera, se basa en el hecho de que el número de días de la eternidad no es mayor que el número de años”.

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  Paradoja de las fichas y el florero

Disponemos de infinitas fichas numeradas. A las doce menos un minuto metemos en un florero las fichas que van de la 1 a la 10 y sacamos la 1. Medio minuto antes de las doce metemos de la 11 a la 20 y sacamos la 2. Un tercio de minuto antes de las doce metemos de la 21 a la 30 y sacamos la 3. Y así sucesivamente. ¿Cuántas fichas habrá a las doce en punto en el florero? Pues ninguna.

El razonamiento es el siguiente: pensemos en una ficha en concreto, por ejemplo la 1246. ¿Estará en florero a las doce en punto? No, pues 1/1246 de minuto antes de las doce la sacamos del florero. Esto mismo nos lo podemos preguntar para cualquiera de nuestras infinitas fichas numeradas. ¿Estará la ficha marcada con el número n? No, no estará, porque la habremos sacado cuando faltaba 1/n de minuto para las doce. En conclusión: el florero se queda vacío. [5]

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Paradoja de Bernardete:

Supongamos un libro que narra una historia de misterio, pero está editado de una forma poco usual. Cuando se abre el libro para comenzar la lectura se descubre que la primer página tiene ½ centímetro de grosor ( un grosor excesivo para una página, pero se trata de un libro poco usual). Cuando seguimos leyendo notamos que la segunda página sólo tiene ¼ centímetro de espesor, la tercera 1/8 y así sucesivamente. Cuando hemos leído una parte de la historia dejamos de perder interés por la lectura pero queremos saber como se resuelve el misterio. Abrimos el libro por el final para leer la última página, y encontramos que no podemos conocer el final de la historia pues no existe esa el final.[6]

 

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La paradoja de Carroll

Lewis Carroll escribe un artículo en 1894 donde hallamos a la Tortuga y a Aquiles luego de la carrera:

Empieza la Tortuga planteando a Aquiles si le gustaría oír acerca de una carrera en la que la mayoría de la gente cree poder llegar con dos o tres pasos al final y que realmente consiste en un número infinito de distancias, cada una más larga que la distancia anterior?

Recurre entonces la tortuga al primer Teorema de Euclides

(A) Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.

(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.

(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.

 

La tortuga acepta A y B pero no acepta Z y en consecuencia Aquiles debe convencerla:

Tomando nuevamente el primero teorema de Euclides Aquiles genera  (C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.”

(A) Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.

(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.

(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.

(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.

Nuevamente la tortuga acepta A, B y C pero no acepta Z, en consecuencia el proceso se repite, llama D y repite el procedimiento anterior, siendo este un proceso infinito como había anunciado la tortuga a Aquiles.

 

adorno  Paradoja de Richarts

Fue formulada por Jules Richard en 1905; pero Berry y Russell dieron una versión simplificada de la misma; fundamentalmente esta paradoja es la siguiente:

“Existen muchos números reales que se pueden describir con expresiones en castellano; por ejemplo:

 N° Algunas frases empleadas para mencionarlo

infinito

en donde los bn son números aleatorios.

 Veamos que A es numerable:

 Tomemos las 27 letras del alfabeto más el carácter que indica un espacio entre dos palabras. Con estos 28 caracteres podemos escribir cualquier frase y en particular las frases que caracterizan cada elemento de A.

 

Asignemos a estos 28 caracteres un número natural impar, de la siguiente manera:

 

Código Número Código Número
A 1 O 29
B 3 P 31
C 5 Q 33
D 7 R 35
E 9 S 37
F 11 T 39
G 13 U 41

H

15 V 43
I 17 W 45

J

19 X 47
K 21 Y 49
L 23 Z 51
M 25 Ñ 53
N 27   55

 

A un único número natural de la siguiente forma:

 

infinito2

 

 Luego el número natural que le hacemos corresponder a raiz de 2 es:

 235 31 517 751 1155 131741 191 237 2935 311 377 411 4355 477 539 5955 616729 7137

En general, si un número alfa pertenece a A está representado por una expresión cuyos caracteres

corresponden en su orden a los números:

m1 m2 … mk … mr

alfa  le hacemos corresponder el único número natural:

Ça = 2m1 3m2 … Pk mk … Prmr

en donde Pes el k-ésimo número primo.

Si U es el conjunto de todas las expresiones, tenemos que a cada expresión m Î U le corresponde un único número natural:

 2m1 3m2 … Pk mk … Pmr

Además, como la descomposición de un número natural como producto de primos es única (teorema fundamental de la aritmética), entonces, si un número natural es la imagen de una expresión, por esta asignación, no puede existir otra expresión que tenga como imagen dicho número.

 Luego en particular se tiene que la aplicación:

infinito3


infinito4

 

 

 

[1] Si ponemos un punto en la circunferencia y marcamos su trayectoria hallaremos que la curva formada es un cicloide, mientras que si lo ponemos en la circunferencia interior la curva obtenida será una cicloide  acortada.

[2] Nociones comunes que se suponían verdades evidentes de la naturaleza general no especificas de la geometría

[3] ‘La vida y obra del caballero Tristram Shandy’ obra del autor Laurence Sterne

[4] Cuentos breves y extraordinarios J.L.Boges

[5] Gardner, MartinNuevos pasatiempos matemáticos

[6] Matemática insólita: Paradojas y paralogismos

[7] Las Paradojas Matemáticas pg 33

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2 comentarios el “PARADOJAS DEL INFINITO

  1. Estimados amigos permítanme presentarme, soy Dario Lanni y les presento una paradoja:
    Si el factorial de un numero “N” mayor que 2 es par, a medida que “N” tiende a infinito. ¿se mantiene el estado de paridad? es decir dicho ¿producto es par? ¿Sin importar que sigamos multiplicando seguiremos en el estado de paridad? ¿Es por tanto infinito par? Pero si es infinito siempre se podria encontrar un numero mas grande en al menos 1; por tanto dejaría de ser par….

    • Tal vez el infinito es par, recorda que infinito no es un numero sino una cualidad, existe 2k siendo que este k tiende a infinito, y eso lo podrias relacionar con el concepto de cardinalidad de Cantor, hay tantos pares como impares, y tantos pares como naturales. Màs allà de eso, no se si te estàs preguntando si la cualidad de par se mantiene o si nos importa ya que està tan lejos.

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